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交流回路の計算では三角関数が重要であるが、やたら公式が多くどの公式を使ったらよいのか、なぜそういう公式が成り立つのか理解できないため、毛嫌いしてしまう人が多い。加法定理は、二つの角度の和・差に対する三角関数を、元の角度の三角関数の積の和・差で表す公式である。これを基に三角関数の様々な公式が導き出せるが、公式の運用がうまくいかずに交流回路の問題が解けない場合が多い。ここでは、加法定理から一連の関連公式を導き出す手順を解説する。
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速さの和と差を求めましょう
4分で出会っているので2人の速さの和=1800÷4=450m/分
36分で追いついているので2人の速さの差=1800÷36=50m/分
AとBは和450、差50の和差算(追いついているAが「大」)を解いて…
A=(450+50)÷2=250 B=(450-50)÷2=200 と分かります
答: A: 250 m /分, B: 200 m /分
流水算
流水算の船の速さは次の通りです。
●川を下る時の速さ
=静水時の速さ+川の速さ
●川を上る時の速さ
=静水時の速さ-川の速さ
(静水=止まっている水)
線分図だけを拡大すると下図のようになります。
流水算の速さの線分図(超重要!) これは三量の和差算と同様の関係ですね。
この図より、上る速さと下る速さが分かっていれば、静水時の速さと川の流れの速さが求められます。
流水算の川の速さなど
●静水時の速さ=(上りの速さ + 下りの速さ)÷2
●川の速さ=(上りの速さ - 下りの速さ)÷2
これを使って問題を解いてみましょう。
流水算の和差算
川にそって15km離れて下流にA地点、上流にB地点がある。船に乗ってAからBまで往復したところ、行きは1時間40分、帰りは1時間かかった。この船の静水時の速さと川の流れの速さを求めなさい。
まず上りと下りの速さをだしましょう。
行きの速さ(上りの速さ)は15÷1 40 60 =9km/時、帰りの速さ(下りの速さ)は15÷1=15km/時なので
静水時の船の速さは(15+9)÷2=12km/時、川の流れの速さは(15-9)÷2=3km/時と分かります
静水時の速さ: 12 km/時
川の速さ: 3 km/時
他分野との融合問題は以上です。
応用問題(2)
二重の和差算の解き方
「二重の和差算」というのは、こんな問題です。「三つの数との和差算」との違いが分かりますか? 二重和差算の例
3つの数ABCの合計は220である。BはCより29大きく、 AはBとCの和より14大きい 。ABCはそれぞれいくつか? 「二つの数BCの和」と「残りの数A」との差が書いてあるのが特徴ですね! 解き方
「まず解いている所を見たい!」人は下のスライダーを使って下さい。画像の右端をクリックすると進みます。
二重の和差算
(例)ABCの合計は220で
AはBCの和より14大きくBはCより29大きい
Aと「B+C」の和差算を始める
AとB+C(BCの和)が出る。
BとCの和差算を始める
BとCが出て、終了~♪
このやり方で、例題を実際に解いてみましょう。
二重和差算の例題
3つの数ABCの合計は220である。AはBとCの和より14大きく、BはCより29大きい。ABCはそれぞれいくつか?
和からの個別指導では正に「和」…足し算から、自分のペースで学ぶことができます。
算数から苦手意識を克服したい方など、ご興味があれば一度無料カウンセリングでご相談ください! ●お問い合わせフォームは こちら
<文/ 池下 >
【微分の計算法則】和・差・定数倍・定数・xのn乗の計算方法と証明 - 青春マスマティック
中学でならう乗法公式の覚え方ってある?? こんにちは!この記事をかいているKenだよ。牛乳を小分けで買ったね。
中学3年生になると、
乗法の公式
をおぼえなきゃいけない。
いや、べつに覚えなくても大丈夫。
根性でとける。
ぶっちゃけね。
だけど、公式をおぼえてると便利。
とくスピードがむちゃ速くなるんだ。
公式つかえば3秒。
使わなかったら5分。
それなら公式つかいたいよね?? 今日は便利な乗法公式をおぼえるために、
中学数学の乗法公式の3つの覚え方
を紹介するよ。
よかったら参考にしてみて^^
中学数学対応!乗法公式3つの覚え方
公式はつぎの3つだよ。
(x+a) (x+b)の展開
平方の公式
和と差の積
覚え方を紹介していこう! (x+a)(x+b)の展開公式の覚え方
まず1つめの、
(x+a)(x+b) = x^2 +(a+b)x + ab
の覚え方だね。
この公式は、
指で文字を隠しておぼえられるよ。
覚え方は、
右・左・エックス・左
だ。
なんか格ゲーのコマンドみたいだね。
さっそく紹介しよう。
まず()の右を指でかくす。
xが2つみえるでしょ?? だからxを2回かけてやればいいんだ。
つぎは()の左をかくしてみよう。
指を左にずらしてやるんだ。
そしたら、
a + b
がでてくるでしょ?? これをさっきの式にたしてみよう。
つぎはスペシャルコマンドの「x」をつける。
このボタンをおさないと必殺ワザは決まらない。
最後にもう1度左を隠してみよう。
そしたら今度は、
aとb
がみえるでしょ?? こいつらをかけて、最後にたしてやる。
すると、
のできあがりさ。
これで(x+a)(x+b)の展開公式もマスターしたね。
この乗法公式なら1瞬でとけちゃう。
たとえば、
(x + 1) (x +2)っていう計算式があったとしよう。
公式で計算すれば瞬殺さ。
公式にあてはめてみると、
a = 1
b = 2
だね。
(x+1)(x+2)
= x^2 + (1+2) x + (1×2)
= x^2 + 3x + 2
になるね。
むちゃくちゃ楽だぜ! 平方の公式の覚え方
つぎは「平方の公式」の覚え方さ。
この展開公式は、
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
だったね。
この展開公式の覚え方はずばり、
ニミッツ、a、b、ab!! 魔女の呪文みたい。
まず「2」を「3つ」かいてみよう。
呪文のなかの「ニミッツ(2が3つ)」にあたるよ。
つぎは「a」と「b」を前後の「2」の前においてあげよう。
そして最後に、
「ab」を真ん中の「2」の後ろにおいてね。
こいつらを「+」でむすんであげれば・・・・
ほら!
数学I 数と式 式の計算 多項式の因数分解の公式 『和と差の積の公式』を逆に利用した因数分解 和と差の積の公式の逆利用
2.
和と差に関する対数の性質について 常用対数表 には,$10$を底とする対数の概算値がまとめてある. この表によれば
\begin{align}
&\log_{10}2\fallingdotseq0. 3010~, \\
&\log_{10}4\fallingdotseq0. 6021~, \\
&\log_{10}8\fallingdotseq0. 9031
\end{align}
なので
(\log_{10}8=)~\log_{10}(2\cdot4)=\log_{10}2+\log_{10}4
が成り立っているのがわかる. このような関係が成り立つのは偶然ではなく,一般的には次のようにまとめられる. 和と差に関する対数の性質 $a $は$a > 0,a\neq1$を満たし,$M > 0,N > 0$とするとき 1. $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} $ 1'. $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$ が成り立つ. たとえば,$\log_218 = \log_23 + \log_26$,$\log_3\dfrac{2}{5} = \log_32 − \log_35$などもいえる. 吹き出し和と差に関する対数の性質について 似ているが,下の式は成立しないので気をつけよう. &(\times)\log_aM\log_aN=\log_aM+\log_aN~~, \\
&(\times)\dfrac{\log_aM}{\log_aN}=\log_aM-\log_aN
暗記和と差に関する対数の性質の証明 実数に拡張された指数法則 1. $a^xa^y=a^{x+y}$ 1'. $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ に,$a$を底とする対数を考えることにより, 和と差に関する対数の性質 1. $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$ 1'. $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a{M}-\log_a{N}$ を証明せよ. 1.
和と差の積の展開公式 - YouTube
平方の公式
展開の公式があと \(2\) つありました。
それ対応する因数分解が当然 \(2\) つあります。
まずは平方の公式です。
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
例題1
次の式を因数分解しなさい。
\(x^2+8x+16\)
解説
まずは前回習得した方法で因数分解をしてみましょう。
積が \(+16\) になる数を書き出します。
その中で、和が \(+8\) になるものを探します。
つまり、
\(x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2\)
\(x^2+8x+16=(x+4)^2\)
ということです。
うまく因数分解ができました。
平方の公式の利用
ところで、定数項が平方数であるとき、
この「平方の公式」
が使えるかも!?
3つの数の和差算
「中」と「大」を「小」の長さに切りそろえている
「和差算って何?」という小学4年生や「解き方をマスターしたい」「応用発展問題を解きたい」という中学受験生の方、おまかせ下さい!東大卒講師歴20年の図解講師「そうちゃ」基本から応用・難問までを総まとめしました♪この記事を読めば和差算はもう大丈夫です。
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線分図の書き方(復習)
爽茶 そうちゃ
こんにちは!「そうちゃ」 @ zky_tutor ( プロフィール)です。
和差算は線分図で習うことが多いので、あらかじめ線分図に慣れておくと良いですよ! 二つの数量の関係を表す線分図は「和」「差」「比」の三種類です(図1)。「和」と「差」を組み合わせると「和」 「差」 算ができます(図2)
図1:二量の関係
左から「和」「差」「比」の線分図
図2:和差算
「AとBの合計は○で
AはBより○大きい」
類似分野の 「 分配算 」「年齢算」 も参考になると思います。
では、実際に線分図を使って和差算を解いてみましょう! 和差算の基本
和差算は、2つの数の「和」と「差」からそれぞれの大きさを求める問題です。
(参考: ウィキペディアによる解説)
まず、基本の解き方をマスターしましょう! 和差算の基本解法
基本解法をまとめるとこうなります。
練習したい人はこちらをどうぞ。
2つの数A、Bの和が44でBがAより6小さい時、Bの大きさを求めよ。
ヒント
❶線分図を書く→❷「小」に切りそろえる(和-差)→❸(和-差)÷2で「小」を求める→❹「小」+差で「大」を求める
の手順で
解答
[su_spoiler title="表示" style="fancy" icon="chevron-circle" class="std no-trn pale"]
❶問題文を読むとBの方が小さいと分かるので、Aを「大」Bを「小」として線分図を書きます。そして和44と差6を書き込みます。
線分図に和と差を書き込んだところ
❷ここで「はみ出た」部分をチョキン! と切り取ります
「和-差」が小2つ分だと分かります。
❸すると、切り取った分6減って合計は38になり、これは「小」2つ分です。したがって、「小(B)」=38÷2=19 です。
❹一方「大(A)」は「小」より6大きいので、19+6=25 と分かります。
B= 19 [/su_spoiler]
「もう少し詳しい説明が見たい」「もっと練習したい」人や、は関連記事 「ちがいに目をつけて」 を見て下さい。
慣れてきたら、公式一発で!
Today's Topic
$$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$$
$$\left\{k\, f(x)\right\}'= k\, f'(x)(kは定数)$$
$$\left\{f(x)\pm g(x)\right\}'= f'(x)\pm g'(x)$$
$$k ' = 0\ (kは定数)$$
(※見切れている場合はスクロール)
楓 ここでは微分の基本的な計算法則を見ていくよ。
これをマスターするとどうなるの? 小春
楓 そうだね、微分公式をさらに簡単にすることができるかな! なるほど、避けては通れない道ってことね・・・。 小春
この記事を読むと、この意味がわかる! 関数\(f(x)=x^3-2x^2+1\)を微分せよ。
関数\(\frac{1}{3}x^3-2x^2+x\)を微分せよ。
楓 答えは最後にあるよ。
\(x^n\)の微分
最初に\(x^n\)の導関数を紹介しておきましょう。
この公式は とっても覚えやすい形 をしています。
ポイント $$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$$
イメージとしては、 肩の荷を前に下ろして、1軽くする という感じ。
ただし、この公式の証明は 少しハードルが高い です。
文系の方であれば、コツさえ掴めば指数\(n\)が自然数であれば証明できるでしょう。
しかしどんな数のときでも、この公式が成り立つという証明には、数Ⅲの知識をかなり取り入れる必要があるのです・・・。
この証明は少し長くなるので、別記事で取り扱いますね。
【べき乗の微分公式】x^nの微分は実は難しい。知ってれば差がつく公式証明
続きを見る
楓 数ⅡBと書いてあるところは、文系さんでもマスターできますよ!
和差算と違って全部の合計が書いてありませんね。
よく読むか図を書くと分かりますが、AとBは和も差もかいてあります。
「ABの和差算にもう一つの数Cとの和がついた問題」と考えることができます。(「 和差和 わさわ 算」と呼んでおきます)
この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの和からBを引いてCを出せばOKです。
和が一つだけの問題
3つの数があって和が一つしか書いていないこんな問題です。
和が一つだけの例題
AとBの和が22、AとBの差が2、BとCの差が9である時、ABCはそれぞれいくつですか? 今度はAとBの「和」と「差」に加えてもう一つの数Cとの「差」が書いてあります。
和差算にもう一つ「差」がついた問題と考えられますね(「 和差差 わささ 算」と呼んでおきます)
この問題はABの和差算を解いてAとBを出した後、BCの差をBに足してCを出せばOKです。
和しか書いてない問題の解き方
3つの数があって和しか書いていない(差が全く書いてない! )こんな問題です。
和しかない問題の例
3つの数ABCがあります。AとBの和が17、BとCの和が22、AとCの和が25の時、ABCはそれぞれいくつですか? 和が3つなので「和和和算(わわわざん)」と呼んでおきます。
このタイプはよく出題されるので出来るようにしておきましょう。ただ、解き方が少し複雑です。
例題を解きながら解法を理解して下さい( 2020. 2.